ベータ(No.2)と呼ばれた数学者【第34号】

親友が凄すぎた古代ギリシアの数学者が我々に残したもの
金谷一朗(いち) 2021.07.23
誰でも

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【140字まとめ】今週は「ベータ(No.2)と呼ばれた数学者」をテーマにお届けします.彼はNo.2と呼ばれたのですが,その業績は歴史的にも世界的にもトップクラスでした.幸か不幸か,彼の友人が凄すぎたのです.彼は世界で初めて地球の大きさを測り,現在でも使われている素数発見アルゴリズムを発明しました.

いちです,おはようございます.

今日は東京オリンピックの開会式ですね.しかし新型コロナウイルスの変異株が猛威を奮っているようで,日本でも変異株のひとつである「デルタ株」が急増しているそうです.御存知の通り,変異株の名前は最初に見つかった国名ではなく,ギリシア文字を順番に割り当てることになりました.従来の「イギリス株」はアルファ(α),南アフリカ株はベータ(β),ブラジル株はガンマ(γ),インド株はデルタ(δ)と呼びます.

今朝は古代ギリシアの数学者・天文学者で,大変な功績を残したにもかかわらず「ベータ(β)」つまり「2番め」とあだ名された人物にスポットライトを当ててみます.

その人物とは,エラトステネス.

名前を知らなくても仕方ありません.なにせ2番めですから.

エラトステネス
エラトステネス

しかし,彼が2番と呼ばれるのも,歴史上あまり有名でないのも,運が悪かったとしか言いようがないのです.なぜなら「アルファ(α)」つまり「1番」が凄すぎたからなんですね.そのアルファは,エラトステネスの親友でもあった数学者アルキメデスです.実は誰がこの時代の1番かというのは諸説あるぐらい,エラトステネスの時代のアレクサンドリアは天才にあふれていたのですが,僕はアルキメデスに一票を投じます.

エラトステネスは紀元前275年生まれのギリシア人です.彼が生きた時代は「ヘレニズム」と呼ばれていますが,300年続いたこの時代の中でもエラトステネスの生きた時代こそが最盛期と言えるでしょう.ヘレニズムは紀元前30年,クレオパトラ7世の自殺によって幕を閉じます.

地球の大きさを測ったひと

エラトステネスは歴史上初めて,測量に基づく世界地図を作ろうとした人です.それまでも世界地図らしきものはあったのですが,それはつぎはぎだらけで,一貫した「緯度」「経度」の無いものでした.

まず,エラトステネスは地球が球体であることを確信していたことに着目してください.そして,太陽は地球から大変遠いため,地球のどこに居ても太陽からの光は平行に降り注ぐということも,エラトステネスは確信していました.エラトステネスのこの二つの確信は,現代から見ても正確なものでした.

そして,彼は人類史上初めて,地球の大きさを測ろうとしたのです.なんともスケールの大きな話ですね.彼は夏至の正午,古代エジプトの都市シエネ(現在のアスワン)で,太陽が天頂を通過することを書物を通して知っていました.アスワンは北緯24度05分に位置する街で,北回帰線(北緯23度26分)のほぼ上にありますから,この知識も正しいものでした.

太陽が天頂に来ると,地面に立てた棒から影が消えるのでそれを知ることが出来ます.また井戸が真下まで照らされることでも知ることが出来ます.

太陽が天頂に来たときの風景 (<a href="https://qr.ae/pG5Gsl">Quora</a>)
太陽が天頂に来たときの風景 (Quora)

一方,エラトステネスは日時計による観測から,彼の住むアレクサンドリアでは太陽が7.2度つまり円周の1/50傾いていることを知りました.これは地球が球体だとすると,シエネから真北に1/50ほど行ったところにアレクサンドリアがあることを意味します.

彼はシエネとアレクサンドリアの距離を,商人たちの往復記録から5,000スタディアと見積もります.1スタディオン(スタディアの単数形)は約160メートルから約190メートルです.

スタディオンの由来は面白く「砂漠において太陽の上端が地平線に現れてから,下端が地平線を離れるまでの間に,人間が太陽に向かって歩く距離」とされています.日の出あるいは日の入りは約2分続くので,2分で歩ける距離ということになりますね.日本の不動産屋さんの場合「駅から徒歩2分」は「駅から160メートル」を意味しますので,これは忠実に1スタディオンですね.

地球の大きさはシエネとアレクサンドリアを結んだ距離,すなわち5,000スタディアの50倍で,25万スタディアだったということになります.これがエラトステネスが計測した地球の周長で,当時エジプトで採用されていた「1スタディオン=157.5メートル」を採用すると39,375キロメートルとなります.これは驚異的に正確な数字です.

実際には,アレクサンドリアはシエネの真北から0.5度ずれていること,アレクサンドリアとシエネの間の距離の見積もりに正確性を期せないこと,エラトステネスの使ったスタディオンが何メートルだったか正確にはわかっていないことなどから,彼の推定はおそらくは10パーセント以上の誤差を含むものだったと考えられます.とは言え,このような制約条件のもとでは信じられないぐらい高精度な推定ですし,彼の方法論には全く狂いがありません.

エラトステネスの推定は,10世紀のアラビアの天文学者ビールーニーによる極めて正確な計測に置き換えられるまで,およそ1,200年に渡って使われ続けました.

これでもベータ(β)つまりNo.2とあだ名されるなんて,古代アレクサンドリアはどれだけ選手層が厚いのでしょう.

エラトステネスの篩(ふるい)

情報科学(計算機科学)の学生であれば,エラトステネスの名前をすでに聞いたことがあるかもしれません.「エラトステネスの篩(ふるい)」という有名なアルゴリズムは,このエラトステネスが考案したものです.少なくとも,そういう事になっています.

エラトステネスの篩(ふるい)は,素数を発見するための方法です.古代アレクサンドリアにはもちろんコンピュータはありませんでしたから手計算のためのアルゴリズムなのですが,大変巧妙かつシンプルなので,現在でもプログラミングの練習によく用いられます.

例えば100以下の整数の中から素数を見つけ出すとしましょう.まず紙に2から100までの数を書き並べます.2から始めるのは,1が定義上素数ではないからです.

次に,2を残して2の倍数 (4, 6, 8…) にすべて取り消し線を入れていきます.ふたつおきにぴっぴっと斜線を入れていくだけですから簡単ですね.2の倍数が終わったら,次は3を残して3の倍数 (6, 9, 12…) に取り消し線を入れていきます.このとき6や12はすでに消されているのですが,構わず二重に消してしまいましょう.

3以外の3の倍数をすべて消し去ったら次は4なのですが,2のときに4はすでに消しています.なので,次の作業は5を残して5の倍数 (10, 15, 20…) を消していくことになります.

やってみると47を最後に作業が続行できなくなることがわかります.結局,消されずに残った数は

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

となります.これが100以下の素数の全てです.

このように整数を「篩(ふるい)にかける」ことから,この方法は「エラトステネスの篩(ふるい)」と呼ばれています.

素数は現代の数学者の心さえも捕らえて離さないのですが,2,200年前の数学者エラトステネスもまた素数に心奪われていたのですね.

素数についてもっと知りたい方は,是非本誌【第12号】の「ABC予想を中学数学で(雑に)説明する」を御覧ください.

アレクサンドリア図書館

アレクサンドリア図書館の想像図(O・フォン・コルヴェン,19世紀)
アレクサンドリア図書館の想像図(O・フォン・コルヴェン,19世紀)

エラトステネスは紀元前236年,エジプトの王プトレマイオス3世によってアレクサンドリア図書館の館長に任命されました.少なくとも紀元前204年までは館長だったそうですから,勤続32年(以上)になりますね.見習いたいものです.

当時のアレクサンドリア図書館は,世界の学問の中心地でした.現在で例えるなら,オックスフォード大学とスタンフォード大学とハーバード大学とカリフォルニア工科大学とマサチューセッツ工科大学(MIT)とケンブリッジ大学が一箇所にあったようなものです.

いや,それ以上なのです.

現在のどのような大学も,2,000年の長さに渡って影響を残し続けたことはありません.次点を挙げるならば,1088年設立のイタリアのボローニャ大学でしょうか.16世紀を,そして歴史を代表する科学者ガリレオ・ガリレイはボローニャ大学に在籍していました.

さて,アレクサンドリア図書館は学術と芸術の神様「ムーサ」(英語名ミューズ)に捧げられた学堂「ムセイオン」の機関として建てられました.ムセイオンはもちろん英語のミュージアム,つまり博物館の語源です.エラトステネスはこのムセイオンの館長も兼任していたようです.

アレクサンドリアのムセイオンはエジプトのプトレマイオス朝初代王のプトレマイオス1世が私財をつぎ込んで世界の叡智を集めたものでした.推定では,パピルスに書かれた書物が4万巻から40万巻もあったということです.

残念なことにアレクサンドリアのムセイオンは数世紀を掛けて徐々に衰退し,最後はローマ時代のテロ活動によって破壊されました.もしアレクサンドリア図書館が存続していたなら,ヨーロッパの歴史は随分と違った姿だったかもしれません.アイザック・アシモフのSF小説「ファウンデーション」では図書館が重要な役割を果たしていますが,きっと彼の頭の中にはアレクサンドリア図書館のことがあったのでしょう.

アレクサンドリア図書館(筆者撮影)
アレクサンドリア図書館(筆者撮影)

アレクサンドリアには,現在「新アレクサンドリア図書館」が建っています.この新図書館は2001年に,アレクサンドリア図書館があった場所に再建されました.僕も訪問したことがあるのですが,素晴らしい施設でした.エジプトを訪れることがあれば,是非アレクサンドリアに足を伸ばしてみてください.

アレクサンドリア図書館(筆者撮影)
アレクサンドリア図書館(筆者撮影)

親友アルキメデス

エラトステネスがベータ(β)ならば,彼の親友アルキメデスは絶対的なアルファ(α)と言って間違いないと思います.同じく古代ギリシアのピタゴラスやユークリッド(エウクレイデス)と並ぶ突出した数学者であり,古代ギリシア人としては珍しいことなのですが,傑出したエンジニアでもあったのです.

一般的には理念的で学術や芸術に秀でた古代ギリシア人と,現実的で工事や政治に秀でた古代ローマ人を想像しがちなのですが,古代ギリシア随一の学者とも言えるアルキメデスは極めて優秀なエンジニアという顔も持っていました.

水を汲み上げるアルキメディアン・スクリュー.現在でも広く使われている.
水を汲み上げるアルキメディアン・スクリュー.現在でも広く使われている.

アルキメデスの発明とされる「アルキメディアン・スクリュー」は現在に至るまで使われ続けています.

アルキメデスの鉤爪の想像図(ジュリオ・パリージ,16世紀頃)
アルキメデスの鉤爪の想像図(ジュリオ・パリージ,16世紀頃)

また,当時の戦争のために「てこ」を利用した投石機(カタパルト)や,最新兵器「アルキメデスの鉤爪(かぎつめ)」を発明しています.この「鉤爪」は現代で言えばクレーンあるいはカンチレバーと言うべきもので,沿岸に近づいた敵の船を転覆させることができたそうです.

それどころか,どうやら「アルキメデスの熱光線」と呼ばれる光線兵器まで発明していた可能性も指摘されています.これは沿岸にいる敵の船を,太陽光線を集めて焼いてしまうものでした.今で言うレーザー兵器のようなものですね.

エラトステネスは博学の人で,数学や天文学はもちろん,詩人であり音楽理論にも貢献した人なのですが,アルキメデスの前ではベータの地位に甘んじなければならなかったのでしょう.とは言え,彼の歴史的業績は一級です.

エラトステネスは82歳まで生きました.当時の知識人の習慣に従ったのか,食を絶って自殺したと言われています.

おすすめマンガ

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荒木飛呂彦氏激賞!紀元前3世紀,台頭著しい共和政ローマを恐怖の底に突き落とした男がいた.ハンニバル・バルカ──ローマ史上最大の敵となった怪物と,彼からローマを守った英雄プブリウス・コルネリウス・スキピオ.同時代を生きた二人の戦いが,今幕を開ける!!
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アルキメデスが戦った戦争は,共和制ローマとカルタゴの間で行われた「第2次ポエニ戦争」の中で行われた「シラクサ防衛戦」でした.アルキメデスは将軍ハンニバル率いるカルタゴ側での参戦でした.

本書「アド・アストラ」はハンニバルと,共和政ローマの将軍スキピオを描いた作品です.僕は作中のハンニバルに感情移入してしまい,結末を知っていただけに読みすすめるのが非常に辛かったことを覚えています.

アルキメデスも登場しますよ.

おすすめTEDxイベント

はい!

今週は「おすすめTEDトーク」の代わりに「おすすめTEDxイベント」をご紹介させていただきます.

TEDxとはTEDがライセンスしているローカルTEDイベントで,世界各地で実施されています.僕たちは2018年から長崎で TEDxSaikai というイベントを運営しています.

今年2021年は,7月25日(日曜日)13:00からオンライン開催をします!参加無料ですので,よろしければこちらからお申し込み下さい.

Q&A

匿名質問サイト「マシュマロ」および実名質問サイト「Quora」で質問を受け付けています.普段はツイッターでお返事を書いていますが「ニュースレター読んでます」と入れていただければ,こちらのニュースレターでより長めの回答を書かせていただきます.

今週はおよそ3年前のQ&Aから…

学徒動員・金属拠出・勤労奉仕.どうして,今度の東京オリンピックは,先の戦争のパロディみたいになっているのですか?
Quora
  • 猛暑が予想される→水をまけ,日陰に入れ,浴衣に着替えろ,時計をずらせ,今から鍛えておけ,大和魂でなんとかしろ

  • 高度な技能を持った若者が足りない→学生ボランティアを「推奨」しろ(事実上の圧力),大学の学事歴を変更しろ

  • 交通網が麻痺する→時差出勤しろ,ネット通販を「自粛」しろ

  • メダルの原料が足りない→回収を強化

…これは2018年10月4日の回答でした.オリジナルの回答には出典へのリンクがすべて残されています.コロナや運営のぐだぐだですっかり霞んでしまったのですが,およそ3年前の問題は結局解決されませんでしたね.

現時点に至っては「オリンピック中止」は極めて困難でしょうから「中止しろ」とは言いませんが,開会式は「黙祷」だけするのが一番いいんじゃないかなと思っています.

ネットフリックスの映画「FYRE 夢に終わった史上最高のパーティ」は,西インド諸島バハマに属する小さな島で開催されるはずだった「夢のような」パーティがいかに計画され,いかに破綻し,いかに損害を与えていったかを赤裸々に追ったドキュメンタリーです.2019年に公開された映画なのですが,東京オリンピック直前に観るとなお一層迫ってくるものがあるでしょう.

僕たちは2019年に長崎の「無人島」で TEDxSaikai イベントを開催したこともあって,もしどこかで歯車が狂っていたら同じ轍を踏んでいたかもしれないと震えながら,僕は映画を観ました.TEDxSaikai のチームメンバー,パートナー,スピーカー,そして参加者の皆さんにはこの場をお借りして改めて大感謝です.

こちらの匿名質問サイトで質問を受け付けています.質問をお待ちしております.

振り返り

このニュースレターでは「振り返り」動画を公開しています.

が,今回は収録まではしたものの TEDxSaikai の準備のために編集が間に合いませんでした.待っていてくださった方ごめんなさい…

ですが!

なぜか偶然,長崎のクラブ「ベータ」の前で短い動画を撮っていたので,よろしければこちらをご覧ください.

動画の音声だけを切り出してポッドキャストにもしています.

是非お楽しみください.

あとがき

ギリシア文字は数学や物理学で多用します.そのため大学入試の筆記試験にもしばしば現れるのですが,これが受験生にとっては難物なのです.例えば英語のエー(a)とギリシア文字のアルファ(α)は手で書くとほとんど判別不可能です.悩ましいのはグザイ(ξ)という文字で,左から書き始めるのか右から書き始めるのか覚えづらく,何回ターンしたらいいのか,鋭角にターンするのか弧を描くのか,本当に覚えにくいのです.

きっと外国人留学生もひらがなで同じ苦労をしているのでしょうね.日本語ネイティブには簡単な「を」も,見方によってはグザイ(ξ)のような厄介者でしょう.本物の計算機科学者が「○」と「|」だけを使う理由がおわかりいただけたでしょうか.

今週も最後までお読みいただきありがとうございます.メールでお読み頂いた皆様は,よろしければボタンを押して行ってくださいませ.(ボタンは匿名化されています.集計したデータはこのニュースレターの内容改善以外には用いません.)

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では,また来週,お目にかかりましょう.

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休刊日のお知らせ:8月13日金曜日は休刊を予定しています.

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金谷一朗(いち)

TEDxSaikaiファウンダー・パイナップルコンピュータ代表・長崎大学情報データ科学部教授

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