【第11号】地図デザイナのしごと

あまりにも美しく普遍的だったメルカトルの地図に隠された偏見とは?
金谷一朗(いち) 2021.03.05
誰でも

いちです,おはようございます.

今日は3月5日.16世紀ネーデルランド・フランドル伯領(現ベルギー)のゲラルドゥス・メルカトル(出生名ゲラルト・デ・クレメル)の誕生日です.誰それ?

皆さんはほとんどいつも,メルカトルの発明のお世話になっています.彼は,現代の地図でよく用いられている「メルカトル図法」の考案者なのです.(メルカトル以前にドイツのエアハルト・エッツラウプが発案していたようなのですが,発表はメルカトルが先でした.)

ご存知の通り,地球は球体です.もちろん地球には山や海があるため凸凹していますし,赤道面がわずかに(1/300ほど)膨らんでいますが,世界地図を考える上ではまんまるな球と考えて良いのです.

問題は,球を平面に「広げる」ことができないことでした.地図は平面でないと不便です.球だと置き場所を取りますし,複製もしづらいですし,書き込みもしにくいです.また拡大したり縮小したりも大変に難しい.だいいち,街レベルでは地球は十分に大きいので,街の地図は平面で全く問題がないのです.なんとか球の地図を平面にすることは出来ないでしょうか.

ドーナツとサーターアンダギーの違いは?

世界地図を見たときに,一度は考えたことがないでしょうか.この地図の左端と右端を糊でつなぎ合わせれば,地球一周が表現できる.ということは,そのまま上端と下端も糊でくっつければ,丸い地球になる,と.

もちろん紙を無理に曲げていくとしわになってしまいますから,いまは縦横に伸び縮み自由な紙を想像してみましょう.頭の中で想像してみてください.長方形の上下端をまず丸めて貼り合わせるとしましょう.そうすると横長のチューブのようになりました.次にこのチューブの両端をつなぎ合わせてみます.

あら,球ではなく,ドーナツ型になってしまいました.数学的には「トーラス」と呼ぶ形ですが,我々はドーナツと呼ぶことにしておきましょう.一方の球はせっかくなのでサーターアンダギーと呼んでおきましょう.

トーラス (Lucas Vieira)
トーラス (Lucas Vieira)

ドーナツとサーターアンダギーの区別は重要です.ドーナツの表面は,平面に戻すことができるのです.ではサーターアンダギーの表面を平面に戻すにはどうしたら良いでしょうか.

(ドーナツとサーターアンダギーのレシピの違いについてはあとがきに書かせていただきました.)

球の表面にぺたっと紙を貼ると,必ずしわが寄ります.縦横に伸び縮み自由な理想的な紙であっても,しわが必ず発生します.これを数学的に証明したのは19世紀ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスですが,それ以前から,球を平面に展開することは原理的に無理なことが経験的に知られていました.日本のような上質の紙を持たなかったヨーロッパでは,なおさら絶望的だったでしょう.

布ならどうでしょうか.実は半球ならば,布をぴったりと巻きつけることが出来ます.布は紙よりも自由度が高いからです.しかし,地球儀に布を巻きつけて,地球儀上の地図を布に転写したところを想像してみてください.布を元の平面に戻すと,とてもとても見られたものではありません.この図を元に航海などしたら幽霊船になるのが落ちです.

そこで,大航海時代に,地球全体を平面の地図に描く方法が色々考案されました.中でも最も評判が良かったのが,メルカトル図法だったのです.メルカトル図法が優れていたのは,16世紀当時に迎えていた「大航海時代」の要求にぴったりと一致していた点です.大航海時代は,方位磁針を揺れる船内で水平に保つジンバル(羅針盤)の発明によって最盛期を迎えます.この装置によって,船が現在どの方角に進んでいるのかがリアルタイムにわかるようになったのです.

ということは,地図(海図)のほうに求められるものも,方位の正確性でした.逆に言うと,海の上でどれだけの距離を進んだかという距離の正確性は優先度が低かったのです.そして,世界の任意の場所で方位と距離との両方を同時に正確に表す地図は,作れないのです.(地図に詳しい方へ:「正距方位図法」は「ある特定の地点」からの方位と距離だけを正しく表します.)

出発地,例えばポルトガルのリスボンから,到着地,例えばブラジルのリオデジャネイロを目指す場合,メルカトル図法で描かれた世界地図上で,リスボンからリオデジャネイロまで一本の直線を引けばよいのです.航海は,この直線と子午線(南北に引かれた線)との角度を維持するように行います.角度の維持は方位磁石に頼ればよいわけですね.

メルカトル図法は航海にあまりにも便利だったため,距離の不正確さ,あるいはそれに伴う「面積」の不正確さに人々は目を瞑りました.とりわけ,緯度の低いアジアの国々が小さく,緯度の高いヨーロッパの国々が大きく描かれることから,ヨーロッパ人の自尊心をくすぐりもしたのでしょう.

メルカトル図法によってヨーロッパがどのぐらい大きく描かれるかは,こちらのサイトで試すとよくわかります.

日本をヨーロッパへ持っていくとこんな感じになります.(画像はRUSTY氏作.)

ヨーロッパと日本の大きさ比較 (RUSTY)
ヨーロッパと日本の大きさ比較 (RUSTY)

メルカトルは地図の制作で一財産作ったほか,当時最先端の「計算機」とも言えた「アストロラーベ」も制作しています.アストロラーベは本誌【新年号】の「おすすめTEDトーク」でもご紹介しました.こちらにもう一度リンクを貼っておきます.

メルカトルは経験なクリスチャンでしたが,当時,同地域のマルティン・ルターによって生まれつつあったプロテスタントに強く惹かれていったようで,カソリック教会に半年間拘束されています.背景には学問と宗教の対立があったとも言われています.釈放後は,より宗教的に寛容だった神聖ローマ帝国(現ドイツ)のデュースブルクに引っ越しています.このときメルカトルは40歳でした.彼は当地に設置予定だった大学の教授として着任する予定でしたが,大学の設置が遅れたため専門学校の教師になりました.彼は82歳で没するまで地図作りを続けたようで,最後の地図は死の翌年,1595年に出版されています.

メルカトル図法以外の世界地図

現在でもメルカトル図法は世界地図の事実上の標準ですが,もちろん欠点も認識されています.

ヨーロッパや北米の高緯度地域が大きく見えるという倫理的な問題以外に,実用上の大きな問題がメルカトル図法にはあります.航海術が発展するにつれ,とりわけ航空機による移動が可能になったことにより,大きな問題があらわになったのです.それは,メルカトル図法で描かれた地図上の直線が,必ずしも最短経路ではないということです.

メルカトル図法で描かれた地図上の直線に沿って航海または飛行することを「等角航路」または「等角コース」と呼びます.等角航路は,丸い地球上では「遠回り」なのです.

しかし,測量技術が発達して,自分たちの「緯度」だけでなく「経度」も正確に測量できるようになってくると,わざわざ遠回りをする必要もなくなってきました.旧日本海軍の真珠湾攻撃は「歴史的な遠回り」をしてハワイを目指していますが,これは艦隊を秘匿するためなので例外です.

球面上を幾何学的に最短の距離で結ぶコースを「大圏航路」または「大圏コース」と呼びます.飛行機で日本からアメリカへ移動したことがある方は,スクリーンに表示される航路をご覧になったことがあるでしょう.なぜ「まっすぐ行って」ハワイ上空ではなく「北へそれて」アラスカ上空を飛ぶのかと疑問に思われたこともあるかもしれません.それは,ハワイ上空よりもアラスカ上空を通過したほうが近道だからなのです.

東京〜サンフランシスコの大圏航路(地理@沼津高専のウェブサイトで作成)
東京〜サンフランシスコの大圏航路(地理@沼津高専のウェブサイトで作成)

これは出発地を中心とした「心射方位図法」という地図を作ってみるとよくわかります.実はこの心射方位図法は,メルカトル図法よりも歴史が古く,なんと紀元前6世紀に古代ギリシアの哲学者タレスによって発明されたと言われています.

このタレス先生,夜空を見上げ天文の観察に夢中になるあまり,溝に落ちてしまったことがあるようです.僕も夜空に見とれすぎて家を通り過ぎたり,知らない道に迷い込んだりすることはあるのですが,まだ溝に落ちたことはありません.溝に落ちたらタレス先生ぐらい偉くなれるでしょうか.なおタレス先生は女性から「学者というものは遠い星のことはわかっても自分の足元のことはわからないのか」と笑われたそうですが,こればかりは紀元前から変わらないようです.

さて,このタレス先生の発明による心射方位図法ですが,20世紀に入ってアメリカのデザイナー・建築家であるバックミンスター・フラーによって近代的に蘇ります.フラーと言えば,三角形をつなぎ合わせてドームを作る「ジオデシック・ドーム」の考案者として有名です.もし皆さんの中にキャンプ好きの方がいらっしゃれば,世界的に有名な「ザ・ノース・フェイス」のドーム型テント(初期型は1975年発売)はこのジオデシック・ドームを応用したものなので,フラーの恩恵に預かっているかもしれません.

世界初のドーム型テントの広告 (The North Face, 1975)
世界初のドーム型テントの広告 (The North Face, 1975)

フラーのもう一つの偉大な発明が「ダイマクション地図」と呼ばれる地図で,これは心射方位図法と多面体を組み合わせたものです.フラーのアイディアは,球は平面に展開できないが,彼が多大な関心を寄せる「多面体」ならば平面に展開できるというものでした.そして,多面体の各面にそれぞれ地図を割り当てたのです.あとは多面体を平面へ展開すれば,世界地図が出来上がります.

ダイマクション地図は,メルカトル図法や他の図法による地図に比べて,距離の変化が少なく,したがって大陸の面積の変化が小さく,方位のずれも小さいのです.そして何より「宇宙船地球号」を提唱したフラーの思想を色濃く反映するかのごとく,この地図には上下がないのです.

ダイマクション地図 (Eric Gaba, CC BY-SA 2.5)
ダイマクション地図 (Eric Gaba, CC BY-SA 2.5)

ダイマクション地図の思想を受け継いで,全体が長方形で,なおかつ歪が少なく,どの地域の面積比もだいたい正しい地図として「オーサグラフ」が提案されています.提案したのは,日本の建築家,鳴川肇と彼のチームです.

オーサグラフ・ワールドマップ (AuthaGraph)
オーサグラフ・ワールドマップ (AuthaGraph)

オーサグラフは2016年にグッドデザイン賞対象を受賞しています.

ダイマクション地図の派生系として,多面体の展開方法に工夫を加えたものもあります.嶋あゆ子が考案した「テトラマ」は地球を正四面体というシンプルな多面体に投影したものを,うまく切り開いて平面の六角形に展開したものです.六角形なので繰り返し敷き詰めることができるため,切れ目を任意の場所に持っていけることが利点です.

テトラマ(シナジェティクス研究所)
テトラマ(シナジェティクス研究所)

ユニバーサル横メルカトル図法 (UTM)

さて,では現在我々地理に関係する科学者たちや考古学者たちはどのような地図を使っているかと言いますと,メルカトル図法に戻っています.

た・だ・し!

オリジナルのメルカトル図法は縮尺の歪が大きすぎて使い物になりません.そこで発明されたのが「ユニバーサル横メルカトル図法」略してUTMです.

旧来のメルカトル図法では,高緯度地域の面積が大きくなってしまう問題がありました.これは地球を,南北方向に伸びる円筒に投影したからです.そこで,横メルカトル図法では,地球を水平方向に伸びる円筒に投影します.この円筒の中心軸方向は無限に考えられるので,6度ずつ違った60本の円筒を使います.日本では1965年からUTMが採用されていて,円筒の51番から56番を使っています.例えば長崎は52番,大阪は53番,東京は54番のUTMに入っています.我々が調査しているエジプトのギザ周辺は円筒の36番に入っています.これをUTM-36と呼んで,ピラミッドの位置なんかを記録する際には必ず「UTM-36座標系による」と書いておきます.

冒頭で述べたように,地球は赤道付近が少し膨らんでいます.そのため,UTMでは少しの補正も加えられています.この補正を行った地図は,正確には「ガウス・クリューゲル図法」と呼びます.

エジプトの調査地図は大半がUTM普及前のものなので,比較する場合には地図をUTMに合わせる必要になります.そのために重要になるのが「基準点」で,地面に簡単には動かない釘なんかを打ち込んでおいて,その位置が変わっていないと仮定して地図の座標をUTMに変換していきます.僕たちも時々エジプトで基準点をうたせてもらっています.

地図の座標を変換するのに使うのが「一次変換」という数学です.一次変換は,地図の座標変換だけでなく,地学や工学の「ありとあらゆる」場所に顔を出す数学です.僕たちが高校生の頃は教科に入っていたのですが,なんと2012年に廃止されました.当時の大学教員たちは

おーまいがっ!

と叫びました.本当に衝撃だったんですよ.なお一次変換は2022年から(部分的に)高校数学に復活することになりました.少しは大学教員の負担が減るでしょうか.

マイナーな世界地図たち

歴史上,様々な目的のために様々な地図が考案されてきました.

1805年に考案された「アルベルス正積円錐図法」は円筒ではなく円錐を使って地球を表現するシステムで,北米大陸を表現するのに適した地図でした.そのためアメリカ合衆国国勢調査局によって採用されたほか,日本の国土地理院も「全国都道府県市区町村別面積調」ではこのアルベルス正積円錐図法を使っています.(国土地理院の地形図はUTMを使っています.)

地図上の任意の場所の面積の比率が等しいことは,世界地図の重要な特性とみなされるようになってきました.このような特性を持つ地図を一般に「正積図法」と呼びます.しかし,厳密に面積を等しくしようとすると地形の方に歪みが強く出てしまいます.例えば「ランベルト正積円筒図法」(18世紀)は面積を正しく表示しますが,高緯度地域をぺたんこにしてしまいます.また「ボンヌ図法」(18世紀)はハート型をした世界地図で,世界各地の面積比が正しい地図ですが,歪が大きく,太平洋が妙なことになってしまっています.

ボンヌ図法 (Mdf)
ボンヌ図法 (Mdf)

「グード図法」(20世紀)は「邪悪なメルカトルに対抗して」(グード談)低緯度地域で歪の少ない「サンソン図法」と,高緯度地域で歪みの少ない「モルワイデ図法」を切り貼りすることで生まれました.南極以外の大陸はひとかたまりになっていますが,全体としてはやはり妙な形になってしまっています.

グード図法
グード図法

このような歪みを抑えつつ,できるだけ面積を正しく表示しようと,視覚的に「頑張って」作られたのが「ロビンソン図法」で,1998年から1999年までの間ナショナルジオグラフィック協会が採用していました.現在では,ロビンソン図法から恣意性を取り除き,かつ世界各地の面積を正しく表現した「イコールアース図法」が全世界地図として徐々に使われ始めています.

イコールアース図法 (Tom Patterson)
イコールアース図法 (Tom Patterson)

四色定理

地図にまつわるちょっとした数学定理をご紹介しましょう.ヨーロッパの国やアメリカの州,日本の都道府県のように多数の領域が隣接している白地図を想像してください.さて,何色あれば塗り分けられでしょうか?

答は「4色あれば十分」ということになります.

この問は,1975年以前は「四色問題」と呼ばれていました.四色問題は実は非常に難しい問題で,伝統的な数学手法で証明されてはいないのです.この問は,コンピュータにより5色以上が必要ないことを力づくで探し当てることにより,解決されたのです.

同様にして,ドーナツの表面は7色あれば彩色可能であることが示されています.

1975年に,アメリカの数学者マーティン・ガードナーがエイプリルフールの冗談として「塗り分けに5色が必要な図」を「サイエンティフィック・アメリカン誌」に掲載しています.

Scientific American
Scientific American

よかったらプリントアウトして,塗り分けしてみてください.もちろん,4色で塗り分けられます.

おすすめTEDトーク

TED
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「あらゆるものは別な見方ができる」とよく言いますが,それが思わぬところで当たっていることを,デレク・シヴァーズが2分間で示して見せてくれます.
TED

TEDファンの皆さん,おまたせしました.満を持して,デレクのご紹介です.世界の地図を使って,たった2分で文化の違いを説明してくれます.

デレクはTEDの名物スピーカーで「社会運動はどうやって起こすか」の動画でよく知られています.こちらはすでにご覧になっている方も多いでしょう.まだの方は,ぜひ!

実はこの「社会運動はどうやって起こすか」は,身を持って実験してみたことがあるのです.神戸にあるライブハウス「チキンジョージ」の30周年イベントに呼ばれたときのことでした.30周年記念ということで,参加者の年齢層もかなり高め.ステージでは「天空オーケストラ」によるダンスが繰り広げられていましたが,参加者の皆さんは座って鑑賞していました.

で,踊ってみたんです.

誰も踊ってないフロアで,ひとりで踊ってみたんですよ.1曲分ほど踊っていたら,多分僕よりも20歳ぐらいは年上に見えた女性が一緒に踊り始めてくれたんです.そこからが早かったでんですね.皆さん,次々に立ち上がって踊り始めました.

「2人目」が一人の馬鹿をリーダーへと変えるのですね.それ以来,僕は社会のリーダーを見るたびに「2人目は誰だ?」と探すようになりました.「2人目」がいなければ,馬鹿はただの馬鹿ですものね.

さて「変?それとも違うだけ?」も是非御覧ください.地図の作り方もまた,文化によってどれだけ異なるかわかります.

おすすめ書籍

本書で紹介する国,島,都市,山脈,川,大陸,種族などは,どれもまったくの絵空事だ.しかし,かつては実在すると信じられていたものである.なぜだろう?それらが地図に描かれていたからだ.
Amazon

地図制作者は,架空の街や道路をわざと地図に描き込むことがあります.これは「トラップストリート」と呼ばれる地図制作技法で,不法にコピーされた地図を見つけ出すために使われます.有名なところでは,グーグル・マップに表示されていた「アーグルトン」という実在しない街があります.(グーグルは2009年にアーグルトンを地図から削除しました.)

このような目立たないエラーを紛れ込ませることは現代でも行われているのですが,より大規模な間違い,というよりは妄想が地図に描かれることは歴史上度々ありました.本書はこういった数々の妄想をリストアップし,解説を加えています.本書を通して,人類が世界をどのように見てきたのか垣間見ることが出来ます.

本書の最後の最後に,わくわくする話が載せられています.トルコやアラビア,インドなどで伝説として言い伝えられていた島,人間の形をした果実をつける木があるという島が,日本の位置に描かれた地図があるのです.その島の名前は「ワクワク(wak-wak)」島.一説によると「倭国」がなまったものだとか.

もし本書の電子版を読まれるのであれば,固定レイアウトなので少なくとも9.7インチ(ノーマルiPad)以上のタブレットをおすすめします.

Q&A

匿名質問サイト「マシュマロ」で質問を受け付けています.普段はツイッターでお返事を書いていますが「ニュースレター読んでます」と入れていただければ,こちらのニュースレターでより長めの回答を書かせていただきます.

さて,今週はずっと地球の話をしましたので,宇宙に関する質問をピックアップしてみたいと思います.こちらはQuoraで頂いたのですが,こんな内容でした.

はやぶさのカプセルを日本に運ぶときに関税がかけられますか?

小惑星探査機「はやぶさ2」が小惑星「リュウグウ」からサンプルを採取し,昨年12月6日に地球へ届けました.サンプルの入ったカプセルはオーストラリアに着地しました.このカプセルを日本に運ぶときに関税がかけられるのかという疑問なのですが,小惑星「イトカワ」から帰還した「はやぶさ(初代)」のミッションでは

  • カプセルの回収機材は日本からの一時輸出のため無税(ATAカルネ申請)

  • 宇宙から帰還したカプセルは減価償却済みであるため「1円」で申請し無税

  • イトカワのサンプルは隕石の一般価格から算定して「1円」で申請し無税

ということで,通関手続きはしたもののすべて無税でした.はやぶさ2も同様だったでしょう.

ところで,NASAがパイオニア・ヴィーナス計画で金星探査機用にオランダから13.5カラットのダイヤモンドを輸入したときには関税(12,474米ドル)がかけられています.このダイヤモンドは金星に行ったきり帰ってこないミッションだったため,後に免税が認められました.

こちらの匿名質問サイトで質問を受け付けています.質問をお待ちしております.

振り返り

このニュースレターでは「振り返り」ポッドキャストを公開しています.

今週は【第10号】火星の人の振り返りをお届けしました.火星探査機「パーサヴィアランス」から続々と写真が届けられています.火星の地図の解像度がどんどん高くなっていくのが楽しみですね.今週のポッドキャストでは,少しマニアックながら,パーサヴィアランスに搭載されたCPUについてお話してみました.コンピュータの頭脳CPUは最近だとインテルやAMD,それにArmが有名ですが,宇宙開発では(旧)モトローラ製が比較的よく見られます.その理由なんかについてもお話ししました.

アップルのポッドキャストにも対応していますので,アプリ内で「STEAM NEWS」を検索してみて下さいね.

あとがき

本稿を執筆するにあたって,ドーナツとサーターアンダギーの違いを調べてみました.

サーターアンダギーはドーナツと違って,生地に水を加えないのですね.それであのどっしりとした食感が出るのですね.また黒糖やラードを使うのも,一般的なドーナツとは違う特徴なんですね.

ドーナツの原型は「オリーボーレン」という,形がサーターアンダギーとよく似た丸いお菓子だったようです.このオリーボーレンですが,オランダ,ベルギーの伝統食で,いつ頃から食べられていたかは分かっていないようです.現存する最古のレシピは1667年のものだそうですが,15世紀からあったのではないかと言われています.ということは,メルカトルもきっと食べていたはずですね.

僕は神戸で「ドーナツ博士」という方にあったことがあります.ドーナツと言えば,数学的には「トーラス」の形をしているリングドーナツを思い浮かべますよね.当然の疑問として,なぜドーナツがトーラス形をしているのか聞いてみたのですが「理由は知られていない」とのことでした.

この週末はサーターアンダギーを作ってみようかな.

では,また来週お目にかかりましょう.

***

ニュースレター「STEAM NEWS by Ichi」

発行者:いち(金谷一朗)

TEDxSaikaiファウンダー・パイナップルコンピュータ代表・長崎大学情報データ科学部教授

Photo by Chris Lawton on Unsplash

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