【第11号】地図デザイナのしごと

(English version is available.)

いちです，おはようございます．

今日は3月5日．16世紀ネーデルランド・フランドル伯領（現ベルギー）のゲラルドゥス・メルカトル（出生名ゲラルト・デ・クレメル）の誕生日です．誰それ？

皆さんはほとんどいつも，メルカトルの発明のお世話になっています．彼は，現代の地図でよく用いられている「メルカトル図法」の考案者なのです．（メルカトル以前にドイツのエアハルト・エッツラウプが発案していたようなのですが，発表はメルカトルが先でした．）

ご存知の通り，地球は球体です．もちろん地球には山や海があるため凸凹していますし，赤道面がわずかに（1/300ほど）膨らんでいますが，世界地図を考える上ではまんまるな球と考えて良いのです．

問題は，球を平面に「広げる」ことができないことでした．地図は平面でないと不便です．球だと置き場所を取りますし，複製もしづらいですし，書き込みもしにくいです．また拡大したり縮小したりも大変に難しい．だいいち，街レベルでは地球は十分に大きいので，街の地図は平面で全く問題がないのです．なんとか球の地図を平面にすることは出来ないでしょうか．

ドーナツとサーターアンダギーの違いは？

世界地図を見たときに，一度は考えたことがないでしょうか．この地図の左端と右端を糊でつなぎ合わせれば，地球一周が表現できる．ということは，そのまま上端と下端も糊でくっつければ，丸い地球になる，と．

もちろん紙を無理に曲げていくとしわになってしまいますから，いまは縦横に伸び縮み自由な紙を想像してみましょう．頭の中で想像してみてください．長方形の上下端をまず丸めて貼り合わせるとしましょう．そうすると横長のチューブのようになりました．次にこのチューブの両端をつなぎ合わせてみます．

あら，球ではなく，ドーナツ型になってしまいました．数学的には「トーラス」と呼ぶ形ですが，我々はドーナツと呼ぶことにしておきましょう．一方の球はせっかくなのでサーターアンダギーと呼んでおきましょう．

ドーナツとサーターアンダギーの区別は重要です．ドーナツの表面は，平面に戻すことができるのです．ではサーターアンダギーの表面を平面に戻すにはどうしたら良いでしょうか．

（ドーナツとサーターアンダギーのレシピの違いについてはあとがきに書かせていただきました．）

球の表面にぺたっと紙を貼ると，必ずしわが寄ります．縦横に伸び縮み自由な理想的な紙であっても，しわが必ず発生します．これを数学的に証明したのは19世紀ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスですが，それ以前から，球を平面に展開することは原理的に無理なことが経験的に知られていました．日本のような上質の紙をもたなかったヨーロッパでは，なおさら絶望的だったでしょう．

布ならどうでしょうか．実は半球ならば，布をぴったりと巻きつけることが出来ます．布は紙よりも自由度が高いからです．しかし，地球儀に布を巻きつけて，地球儀上の地図を布に転写したところを想像してみてください．布を元の平面に戻すと，とてもとても見られたものではありません．この図を元に航海などしたら幽霊船になるのが落ちです．

そこで，大航海時代に，地球全体を平面の地図に描く方法が色々考案されました．中でも最も評判が良かったのが，メルカトル図法だったのです．メルカトル図法が優れていたのは，16世紀当時に迎えていた「大航海時代」の要求にぴったりと一致していた点です．大航海時代は，方位磁針を揺れる船内で水平に保つジンバル（羅針盤）の発明によって最盛期を迎えます．この装置によって，船が現在どの方角に進んでいるのかがリアルタイムにわかるようになったのです．

ということは，地図（海図）のほうに求められるものも，方位の正確性でした．逆に言うと，海の上でどれだけの距離を進んだかという距離の正確性は優先度が低かったのです．そして，世界の任意の場所で方位と距離との両方を同時に正確に表す地図は，作れないのです．（地図に詳しい方へ：「正距方位図法」は「ある特定の地点」からの方位と距離だけを正しく表します．）

出発地，例えばポルトガルのリスボンから，到着地，例えばブラジルのリオデジャネイロを目指す場合，メルカトル図法で描かれた世界地図上で，リスボンからリオデジャネイロまで一本の直線を引けばよいのです．航海は，この直線と子午線（南北に引かれた線）との角度を維持するように行います．角度の維持は方位磁石に頼ればよいわけですね．

メルカトル図法は航海にあまりにも便利だったため，距離の不正確さ，あるいはそれに伴う「面積」の不正確さに人々は目を瞑りました．とりわけ，緯度の低いアジアの国々が小さく，緯度の高いヨーロッパの国々が大きく描かれることから，ヨーロッパ人の自尊心をくすぐりもしたのでしょう．

メルカトル図法によってヨーロッパがどのぐらい大きく描かれるかは，こちらのサイトで試すとよくわかります．

日本をヨーロッパへ持っていくとこんな感じになります．（画像はRUSTY氏作．）

メルカトルは地図の制作で一財産作ったほか，当時最先端の「計算機」とも言えた「アストロラーベ」も制作しています．アストロラーベは本誌【新年号】の「おすすめTEDトーク」でもご紹介しました．こちらにもう一度リンクを貼っておきます．

メルカトルは経験なクリスチャンでしたが，当時，同地域のマルティン・ルターによって生まれつつあったプロテスタントに強く惹かれていったようで，カソリック教会に半年間拘束されています．背景には学問と宗教の対立があったとも言われています．釈放後は，より宗教的に寛容だった神聖ローマ帝国（現ドイツ）のデュースブルクに引っ越しています．このときメルカトルは40歳でした．彼は当地に設置予定だった大学の教授として着任する予定でしたが，大学の設置が遅れたため専門学校の教師になりました．彼は82歳で没するまで地図作りを続けたようで，最後の地図は死の翌年，1595年に出版されています．

メルカトル図法以外の世界地図

現在でもメルカトル図法は世界地図の事実上の標準ですが，もちろん欠点も認識されています．

ヨーロッパや北米の高緯度地域が大きく見えるという倫理的な問題以外に，実用上の大きな問題がメルカトル図法にはあります．航海術が発展するにつれ，とりわけ航空機による移動が可能になったことにより，大きな問題があらわになったのです．それは，メルカトル図法で描かれた地図上の直線が，必ずしも最短経路ではないということです．

メルカトル図法で描かれた地図上の直線に沿って航海または飛行することを「等角航路」または「等角コース」と呼びます．等角航路は，丸い地球上では「遠回り」なのです．

しかし，測量技術が発達して，自分たちの「緯度」だけでなく「経度」も正確に測量できるようになってくると，わざわざ遠回りをする必要もなくなってきました．旧日本海軍の真珠湾攻撃は「歴史的な遠回り」をしてハワイを目指していますが，これは艦隊を秘匿するためなので例外です．

球面上を幾何学的に最短の距離で結ぶコースを「大圏航路」または「大圏コース」と呼びます．飛行機で日本からアメリカへ移動したことがある方は，スクリーンに表示される航路をご覧になったことがあるでしょう．なぜ「まっすぐ行って」ハワイ上空ではなく「北へそれて」アラスカ上空を飛ぶのかと疑問に思われたこともあるかもしれません．それは，ハワイ上空よりもアラスカ上空を通過したほうが近道だからなのです．

これは出発地を中心とした「心射方位図法」という地図を作ってみるとよくわかります．実はこの心射方位図法は，メルカトル図法よりも歴史が古く，なんと紀元前6世紀に古代ギリシアの哲学者タレスによって発明されたと言われています．

このタレス先生，夜空を見上げ天文の観察に夢中になるあまり，溝に落ちてしまったことがあるようです．僕も夜空に見とれすぎて家を通り過ぎたり，知らない道に迷い込んだりすることはあるのですが，まだ溝に落ちたことはありません．溝に落ちたらタレス先生ぐらい偉くなれるでしょうか．なおタレス先生は女性から「学者というものは遠い星のことはわかっても自分の足元のことはわからないのか」と笑われたそうですが，こればかりは紀元前から変わらないようです．

さて，このタレス先生の発明による心射方位図法ですが，20世紀に入ってアメリカのデザイナー・建築家であるバックミンスター・フラーによって近代的に蘇ります．フラーと言えば，三角形をつなぎ合わせてドームを作る「ジオデシック・ドーム」の考案者として有名です．もし皆さんの中にキャンプ好きの方がいらっしゃれば，世界的に有名な「ザ・ノース・フェイス」のドーム型テント（初期型は1975年発売）はこのジオデシック・ドームを応用したものなので，フラーの恩恵に預かっているかもしれません．

フラーのもう一つの偉大な発明が「ダイマクション地図」と呼ばれる地図で，これは心射方位図法と多面体を組み合わせたものです．フラーのアイディアは，球は平面に展開できないが，彼が多大な関心を寄せる「多面体」ならば平面に展開できるというものでした．そして，多面体の各面にそれぞれ地図を割り当てたのです．あとは多面体を平面へ展開すれば，世界地図が出来上がります．

ダイマクション地図は，メルカトル図法や他の図法による地図に比べて，距離の変化が少なく，したがって大陸の面積の変化が小さく，方位のずれも小さいのです．そして何より「宇宙船地球号」を提唱したフラーの思想を色濃く反映するかのごとく，この地図には上下がないのです．