【第12号】ABC予想を中学数学で(雑に)説明する

ついに証明された数学上の難問「ABC予想」を中学数学で説明!
金谷一朗(いち)
2021.03.12
読者限定

いちです,おはようございます.

3月5日,京都大数理解析研究所の望月新一教授の「ABC予想」論文がついに学術誌「PRIMS」に掲載されたとニュースになりました.学術誌は,投稿された論文が正しいかどうかを専門家同士で「査読」するのですが,本論文は難解すぎて,その査読に7年半かかったとのことです.また,論文は掲載後も同業者の厳しい目に晒されますので,論文掲載をもって「研究完了」とはなりません.

それだけ難しい「ABC予想」の証明なのですが,そもそも「ABC予想」とは何でしょうか.共同通信

ABC予想は,整数の足し算と掛け算の関係にまつわるもの.
共同通信

という雑なまとめ方をしていましたが,これではあんまりなので,もう少し詳しく(僕の理解している範囲で)お話してみましょう.

なおABC予想は「予想」だった時代の名前で,もし望月先生の証明が正しいとなれば「望月の定理」と呼ばれることになるのでしょう.

ちょっとした準備:素数と素因数分解

これからABC予想の「雑な」理解についてお話したいと思います.ただし,その前にひとつだけ,数学的な準備体操をさせてください.それは「素因数分解」と言います.素因数分解は現在の教育課程では中学校で学習します.

まず「素数」から始めましょう.素数を「超大雑把」に言うと「どうやっても割り切れない整数」のことです.理不尽な状況に立たされたときの気持ちみたいですね.僕は学生時代,指導教授に「この装置組み立てとけや」と言われて1ヶ月かけて組み立てたところ「お前なんでそんなことやっとるんや」と怒られたことがあります.素数な気分でした.

素数についてもう少し正確に書きます.素数は1より大きな自然数のうち,1と自分自身で割り切れない数のことです.例えば2は,1と2以外(3とか4とか)で割り切れないので,素数です.お隣の3も1と3以外で割り切れないので素数ですね.しかし4は2で割り切れるので,素数ではありません.このようにして素数を見つけていくと

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

と無限に出てきます.素数の見つけ方は紀元前3世紀の古代アレクサンドリアにいたエラトステネスによって発明されており,素数が無限にあることの証明は同じく古代アレクサンドリアのユークリッドによってなされています.古代アレクサンドリアは学問の聖地と言いますが,こんなところにも一端が現れていますね.

任意の数を素数の掛け算へと分解することを「素因数分解」と呼びます.例えば20は

20=2×2×5

と素因数分解できるわけです.素因数分解したときに同じ素数が重複した場合は,まとめてひとつにカウントします.まとめると

「20を素因数分解すると2と5になる」

または,より短く

「20の素因数は2と5である」

となります.

これで数学的な準備が出来ました.

ABC予想の「雑な」理解

ABC予想は英語では abc conjecture と言う風に小文字を使います.数 a, b, c が登場するからですね.別名は,提案者の名前をとって「オステルレ・マッサー予想」と言います.オステルレはフランスの数学者,マッサーはイギリスの数学者で,提案したのは1985年から1988年にかけてのようです.

まず a, b, c が「正の整数」だとします.正の整数とは 1, 2, 3, … のことで,自然数とだいたい同じ意味です.(自然数に0を加える流儀もあるため,正の整数と自然数は別とします.)

正の整数 a, b, c にあとふたつの制約を加えます.

ひとつめ.a, b, c は「互いに素」である.

「互(たが)いに素(そ)」というのは数学用語で,この場合 a, b, c を共に割り切る正の整数が1だけ,つまり a, b, c の「最大公約数」が1であることを意味します.例えば a=2, b=3, c=5 とすると,すべてを共通に割り切れる整数は1だけですから「a, b, c は互いに素」と言えます.一方で a=2, b=3, c=4 とするとacがそれぞれ2で割り切れてしまいますから「a, b, c は互いに素ではない」となります.

ふたつめ.a+b=c.

こちらは簡単ですね.むしろ簡単すぎるかもしれません.abを足したらcになること.以上.

以上の条件を満たした三つ組の数 a, b, c をまず見つけます.たくさんありますよ.

例1. a=2, b=3, c=5 は互いに素で,かつ a+b=c

例2. a=3, b=4, c=7 は互いに素で,かつ a+b=c

などなど.ここで,新しい数dを考えます.これまた簡単な計算で d=abc とします.掛け算ですね.ただしdを素因数分解したときに素数が重複している場合は,その重複を取り除いて掛け算を計算します.先程の例でいうと,例2の a=3, b=4, c=7 は d=3×4×7 となるところですが,素因数分解すると d=3×2×2×7 となってしまうので,重複する2をひとつにして,代わりに d=3×2×7=42 を採用します.

これで役者が揃いました.(この言い方,数学者がよく使うフレーズです.)

ABC予想とは,ものすごく大雑把に言うと「cはときどきしかdよりも大きくならない」という予想のことです.

例1だと a=2, b=3, c=5 ですから d=30 なのでcdよりも小さいです.

例2だと a=3, b=4, c=7 ですから d=42 なのでcdよりも小さいです.

まだ「ときどき」が起こっていませんね.「ときどき」の例としては a=1, b=8, c=9 が知られています.このとき d=1×8×9 としたいところですが,dを素因数分解して(d=1×2×2×2×3×3),重複を取り除くと d=1×2×3=6 になるので,cdよりも大きいです.

ABC予想は,このような「ときどき」が本当にときどきしかないことを主張するのです.コンピュータによる探索によると,cが10,000未満となるような a, b, c の三つ組は約1,500万通りあるのですが,cdよりも大きくなる「ときどき」の例は120個しかないそうです.

ABC予想は,この「ときどき」の度合いも予想しています.そしてdの2乗(d×d のことで,本誌ではしばしば「d↑2」と書きます)を比較対象に選んだ場合,つまりcd↑2 を比較した場合,いかなる三つ組 a, b, c でもcd↑2 よりも小さいことを示しています.

ところで,一般的な数学の教科書では「xn乗」を

と書きますが,nが自然数の場合,僕たちのような計算機科学者は「xn」と書くことを好みます.(理由はぜひ本誌【創刊号】でご確認ください.美しい理由があるのです.)

フェルマーの最終定理

ABC予想は,それが正しいのならば「フェルマーの最終定理」と呼ばれる数学定理を簡潔に証明できてしまうことから,大変にインパクトのある予想です.フェルマーの最終定理とは,17世紀フランスの裁判官にして数学者だったピエール・ド・フェルマーによる数学上の「予想」で,証明したのはイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズです.証明には129ページが費やされました.それはフェルマーの死後330年,予想から360年経った1995年のことでした.

フェルマーの最終定理は,ワイルズが証明するまでは「予想」だったので「ワイルズの定理」あるいは「フェルマー・ワイルズの定理」と呼ぶべきなのですが,あまりにも長い間フェルマーの名前で知られていたために現在でも「フェルマーの最終定理」と呼ばれています.そして,もちろん1995年以前は「フェルマー予想」と呼ぶべきではあったのですが,フェルマーがうっかり「証明した」と言ってしまったために「定理」の名前が与えられてしまいました.

なぜ「最終」定理なのかについても説明が必要です.なにもこの定理が証明されたら宇宙が終わるわけではありませんし,フェルマー自身が死の間際に証明を残したわけでもありません.それはフェルマーが古代アレクサンドリアのディオファントスの書「算術」(紀元前3世紀)の余白に書き残した言葉から来ています.

フェルマーは「算術」に48箇所の書き込みを残しました.その中に,現在「フェルマーの最終定理」として知られている数式があり,その直後に

この定理に関して,私は真に驚くべき証明を見つけたが,この余白はそれを書くには狭すぎる
フェルマー

と書いているのです.なんということでしょう!証明を見つけたのに,余白が足りなくて書かなかったとは.まるで「古代エジプト王の宝のありかを見つけたが,適当なペンが見当たらないので地図に書き込めない」みたいな感じです.ワイルズが129ページを費やして証明したのですから,余白が足りないのは当然だったのですね.

数学者たちは,他の箇所に書き込まれた定理たちをすべて(間違いなら間違いと)解決していったのですが,この「余白が足りなかった」定理だけは決着が付きませんでした.それ故に「最終定理」と呼ばれたわけです.

そのフェルマーの最終定理とはどんなものでしょうか?

ここから先は限定公開です

下記からメールアドレスを入力するだけで続きを読むことができます。

すでに購読された方はこちら

ログインする