「構造」という考え方【第145号】

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いちです，おはようございます．

タイに来ています．

今年は気候が穏やかで，泰日工業大学との共同プロジェクトも2年目ということで，去年よりは落ち着いて物事が進んでいます．

一方穏やかではないのが僕のメールボックスで，研究費申請書類の督促やら各種の日程調整やらが矢継ぎ早に溜まって行っています．

皆さんのメールボックスはいかがですか？　僕は先週から，ある程度長いメールはAIに要約させるようにしているのですが，その第1号はなんとこのニュースレター「STEAM NEWS」でした．

えっと，要約で読んでいただいても嬉しいです．

📬 STEAM NEWS は国内外のSTEAM分野（科学・技術・工学・アート・数学）に関するニュースを面白く解説するニュースレターです．

• 学問に欠かせない「構造」という考え方

• 1+2=3の「構造」

• 「1/2」+「1/3」=「5/6」

• 今週の書籍

• 今週のTEDトーク

• Q&A

• 一伍一什のはなし

前号「危険だと思うことがキケンな化学物質『DHMO』」でお伝えした通り，福島第一原発からALPS処理水の放出が始まっています．放出される処理水はほぼ「海水で希釈されたトリチウム（三重水素）水」であり，生態系への科学的な影響は考えられません．

一方，とある社会学者が「トリチウム原子が有機物（蛋白や脂肪や核酸）と結合すると〈中略〉生体濃縮されうる」と呟いて，専門家から間違いを指摘するコメントを寄せられていました．

確かに，生物にとって有害な物質のうち「生物濃縮（生体濃縮）」するものもあります．水銀中毒を引き起こすメチル水銀はその代表例でしょう．しかし，化学的には水素原子とほとんど変わらないトリチウムは，生物濃縮されないことが知られています．もし濃縮できるのならば，放出前に除去できますしね．

件の社会学者がどのような思考過程で「トリチウムが生物濃縮される」と勘違いしたのかはわかりませんが，おそらくはご専門の社会学でよく見られる「構造」という考え方の影響が皆無とは言えないでしょう．「メチル水銀という化学物質はAというプロセスで生物濃縮される」という事実から「任意のXという化学物質はAというプロセスで生物濃縮される」と推論し，そこから「トリチウムという化学物質はAというプロセスで生物濃縮される」と結論したのかもしれません．最初の推論は「拡大解釈」だったわけですが，このような拡大解釈を試すこと，あるいは既存の理論の中に拡大解釈する余地があるかどうかを探すことは学問上大変に有効な方法です．

近代的な「構造」という考え方の原点は数学にあります．それも，とても単純な「整数の足し算」の中に隠されています．

整数というのは「1，2，3……」といった自然数に，0（ゼロ）とマイナスの数を加えたものです．なので「……-3，-2，-1，0，1，2，3……」と無限に続きます．

ご存知の通り，整数同士で足し算ができます．「1+2」みたいにですね．「1+2」はもちろん「3」になるのですが，ここで重要なのは「3」もまた整数であるということなのです．一般に「整数+整数」は再び「整数」になります．

整数の特徴は他にもまだあります．どんな整数に0を足しても，もとの整数のままなのです．「100+0=100」ということですね．ゼロはいくつ集めても0というのも「0+0=0」で説明ができます．そして0自身も整数なのでした．

整数の足し算のみっつめの特徴は，足し算の順番がどうでも良いということです．「1+2+3」という足し算があったときに，先に「1+2」を計算してから3を足しても，先に「2+3」を計算してから1を足しても，結果は同じく6になります．

実はいま，読者の皆さんは整数の「構造」を知ったところなのです．整数と整数を足したものは再び整数になること，足しても変化しない0も整数のひとつであること，足し算はどの順番で行っても良いこと，この3点が整数の構造を表しています．

（ものすごく説明を端折っています．気になる方は数学における「モノイド」について調べてみてください．）

どうしてこれが「構造」なのかと言うと，次のような別の数学が存在するからです．

皆さんはもちろん「分数」をご存知ですね．古代エジプト人も分数が大好きでした．

分数で有名なのは「半分」を意味する「1/2」でしょう．分数は「△/□」で表される数で，△や□は整数でなくともよいのですが，今のところ整数に限定しておきましょう．このような整数分数のことを数学者は有理数と呼びますが，便宜上「分数」で通します．

分数足す分数は，分数になります．たとえば「1/2+1/3」は「5/6」になります．もちろん半分（1/2）足す半分（1/2）は全部（1）と言いたいところですが，全部は1/1とも書けるので分数であることに違いはありません．

分数同士の足し算は分数です．分数同士の足し算の順序を入れ替えても，結果は変わりません．そして，分数にもゼロに相当する数があります．それはとある偶然によって整数の0と同じですが，我々は「0/1」と書くことにしておきましょう．

「1/2」を「2分の1」と読むのは日本語のお約束なのであって，数学とは無関係です．そこで今日だけは「△/□」を「△月□日」と読むことにしましょう．そうすると「1月2日+1月3日=5月6日」となります．意味がわかりませんが，これはこれで正しいのです．読み方を変えただけですから．

こうなると足し算記号も別のものにしておいたほうが良さそうです．ここでは⊕を使ってみましょう．「1月2日⊕1月3日=5月6日」です．「+」を「たす」と読むのですから「⊕」は「ごわす」と読みましょう．

どうでしょう，整数と分数はまるで違うものに見えてきませんか．

ところが「整数と足す（+）」の関係は「分数とごわす（⊕）」の関係とそっくりです．「整数+整数=整数」は「分数⊕分数=分数」と同じ関係ですし，整数に0を足しても変化しないのは，分数に0月1日（0/1）をごわしても変化しないのと同じ関係です．他に計算の順番を入れ替えても答えは同じになるところまでそっくりです．

これを「整数と分数（正しくは有理数）は同じ構造を持つ」と言います．

もう「1」とか「2」とか，あるいは「1/2」とか「3/4」とか，具体的なイメージは無くても議論を進めることができるようになったのです．

「整数と足す（+）」と同じ構造を持つものは数学上たくさん見つかっています．たとえば計算機科学者がよく使う「リスト」は「整数と足す（+）」同じ構造を持っています．リストは表計算ソフトを実現するために使われている構造です．

（数学者へ：整数→任意のリスト，足す（+）→結合，ゼロ（0）→空リストとすると，リストはモノイドと見なせます．）

構造という考え方は数学のみならず，社会学や人文学においても議論の見通しを良くするので，頻繁に用いられます．未知の現象や未知の数学が，既知のものと同じ構造を持っていたとすると，僕たちはたちどころにその現象や数学を理解できるのです．いや，理解できるは言い過ぎかもしれません．理解したことにできるのです．

たとえばSTEAM NEWS【第32号】「結婚の数学」でご紹介したレヴィ・ストロースは「構造」という考え方を人類学に当てはめて，学問を大きく前進させました．

一方で，数学における構造をよく理解しないまま，社会学や人文学に無理やり当てはめている例も見られます．これなども「ハンマーしか持っていなければ，すべてが釘のように見える」ということなのかもしれません．

構造というハンマーはあまりにも強力なので，なんでも構造でぶっ叩こうとする態度は，一部の学者の間で見られます．いや，かくいう僕も，いつも血眼になって隠れた構造を探しています．STEAM NEWSのネタ探しなど，その最たるものかもしれません．

というわけで，もし僕の記事に行き過ぎた「ハンマーぶっ叩き」があった場合は，どうかネットのどこかで「やーい，ハンマー野郎」とつぶやいてください．拾って反省します．

内田樹：寝ながら学べる構造主義

本記事の流れで内田樹先生の書籍を引き合いに出すのはなにかのギャグのようですが，優しい語り口で，ポイントを押さえて「構造主義」の話をしてくれており，間違いもなさそうなのでご紹介させて頂きました．

マーガレット・ワーザイム：珊瑚とかぎ針編みに見る美しき数学の世界

珊瑚とかぎ針編みという一見無関係なものの間には，シンプルで美しい数学があったというお話です．

僕もこんな風にハンマーを使えるようになりたいです．

匿名質問サイト「マシュマロ」および質問サイト「Quora」で質問を受け付けています．普段はツイッターでお返事を書いていますが「ニュースレター読んでます」と入れていただければ，こちらのニュースレターでより長めの回答を書かせていただきます．

今週はこちらの質問から．

迷うと言うことは，いずれの選択肢も同じ程度に魅力がある（ない）と言うことですから，サイコロで決めて，後は祈りましょう．

このレターの最後に匿名質問サイトへのリンクを貼っています．質問をお待ちしております．