四角を四角く並べよう【第115号】

1️⃣正方形はいろんな正方形で埋めることができるのです
2️⃣幾何学の問題を解いたキルト作家がいました
3️⃣イスラム美術には驚きの数学が隠されていました
📖今週の書籍：とてつもない数学
🐻今週のTEDxトーク：小さなリスクを取り，偶然に注意を払う
📨Q&A：恋人に二股をかけられたことはありますか？

金谷一朗（いち） 2023.02.03

誰でも

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いちです，おはようございます．

先週は春節のお休みを頂戴したのですが，本ニュースレター音声版のSTEAM.fmでは「【特別配信】科学という方法を支える3要素」をお届けしました．音声版はお好きなポッドキャストアプリでもお聞きただけますので，お時間のあるときにお楽しみいただければ幸いです．STEAMボート乗組員（有料購読者様）には，今週水曜日に文字起こしをお送りしました．

僕がポッドキャストもお送りしている理由のひとつに，僕自身がポッドキャストを聞くのが好きということがあります．その中でもとくにラジオドラマのポッドキャストが好きで，ちょっとでもいい話が聞けると電車の中だろうと歩いている最中だろうとぎゃん泣きしています．

つい最近泣いたのは「忠臣蔵」のラジオドラマ．あんた結末もストーリーも知ってるでしょって話なのに，冒頭のナレーションから泣いてました．歳とともに涙もろくなるものでしょうか．

で，忠臣蔵を聞いていて思い出したのですが，四畳半の正方形の和室には，「切腹の間」スタイルという畳の並べ方があるのをご存知でしょうか．畳の並べ方ひとつにもお作法をつくるところに，日本の精神性のようなものを感じますね．

さて，今週は畳のように，四角形の部屋を四角形で埋める問題を取り上げます．ただし，信じられないぐらいユニークな方法で，四角形を四角形で埋める問題です．

📬 STEAM NEWS はメールで毎週届くニュースレターです．国内外のSTEAM分野（科学・技術・工学・アート・数学）に関するニュースを面白く解説するほか，今週の書籍，TEDトークもお届けします．芸術系や人文系の学生さんや教育関係者の方，古代エジプト好きな方にとくにおススメです．ぜひ無料登録してみてください．

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不揃いな正方形を並べて大きな正方形にしよう
ミセス・パーキンスのキルト
ペンローズのタイルとイスラム美術
今週の書籍
今週のTEDトーク
Q&A
一伍一什のはなし

畳は長辺が2，短辺が1の比率の長方形なので，2枚一組にすれば正方形になります．畳2枚で「1坪」なので，日本人の生活単位として便利な正方形サイズなのでしょうね．なお，畳作りは2020年にユネスコ無形文化遺産へ登録されました．

茶室を除けば，日本建築ではあまり正方形の部屋を見かけませんが，正方形を敷き詰めて正方形の部屋を作ることは当然できるわけです．

話が面白くなるのはここからです．

すべてサイズの異なる正方形をきっちりと敷き詰めて，より大きな正方形を作ることはできるでしょうか？

この問題は英語で "Perfect squared square" と呼びます．「完全なる正方形化された正方形」という意味ですが，これは「正方形化された円（squared circle）」問題へのオマージュでしょう．「正方形化された円」というのは，ある円と同じ面積を持つ正方形を求めよという古代エジプト以来の数学問題で，古代エジプト人たちはうまい近似を見つけていました．

そんな「完全なる正方形化された正方形」は存在するのでしょうか？

驚くべきことに，複数見つかっているのです．

(MathWorld)

この図でご紹介したのは，21個の相異なる正方形を使って作った正方形です．この正方形は1978年に，オランダの計算機科学者ドゥージベスティジ（A. J. W. Duijvestijn）によって発見されました（リンク先はオランダ語）．

しかも，これは最初の「完全なる正方形化された正方形」ではないのです．歴史上は，次の図のような24個の相異なる正方形を使った正方形のほうが先に見つかっています．

(MathWorld)

この図の正方形は1951年にウィルコックス（Willcocks）によって発見されました．これでもまだ「完全なる正方形化された正方形」の歴史の通過点です．1939年にはスプレイグ（Sprague）が55個の正方形からなる「完全なる正方形化された正方形」を見つけています．こちらが世界ではじめて見つかった「完全なる正方形化された正方形」でした．

ほんと，どうして正方形を正方形で埋めようと思ったのか不思議ですが，それが可能なことも不思議ですよね．

相異なる正方形で正方形を埋めてみよという問いを発したのは，ロシアの数学者ニコライ・ルージン（Никола́й Никола́евич Лу́зин，Nikolai Nikolaevich Luzin）でした．彼自身は「そんなの無理」と思っていたようですが，先述のスプレイグが解答を見つけたのですね．

ルージンの問題とよく似た問題に「ミセス・パーキンスのキルト（Mrs. Perkins's quilt）」として知られている問題があります．こちらも正方形をより小さな正方形へと分割する問題なのですが，ルージンの問題と違って，同じ正方形が複数回現れても良いものとします．ただし，小さい正方形の辺の長さはいつも「互いに素」になってないといけないのです．「互いに素」というのは，共通の整数で割り切れてはいけないということですね．

ミセス・パーキンスのキルト（MathWorld）

ミセス・パーキンスのキルトはこの図のようにいくつも見つかっています．興味深いことに，本誌【創刊号】「数学と芸術のあいだ」でご紹介した数学者ジョン・コンウェイは，亡くなる直前までこのミセス・パーキンスのキルトについても研究をしていたようなのです．

数学と芸術のあいだにいくつもの発見をしていった彼のことですから，きっとここでも何かを見つけていたのでしょう．

なお，この問題が「ミセス・パーキンスのキルト」と呼ばれる理由ですが，イギリスのパズル作家，数学者ヘンリー・アーネスト・デュードニー（Henry Ernest Dudeney）がそのように書籍の中で紹介したためです．ではなぜミセス・パーキンスなのかとなると，まったく不明です．おそらくはキルト作家に女性が多かったので，連想したのかもしれません．

デュードニーの死後，平面を五角形で敷き詰めるという問題を，数学者ではないキルト作家のミセス・マジョリー・ライス（Mrs. Marjorie Rice）が解いています．

最後に，もうひとつのおもしろい幾何学模様のお話をしたいと思います．ルージンの問題も，ミセス・パーキンスのキルトも，平面をより小さな平面で埋めるという問題でした．

一般に，無限に広い平面を幾何学図形で埋めていうこうとすると，必ず繰り返しが現れます．むしろ，繰り返すことで無限に埋めていけるような気さえしますよね．100畳間だろうと10,000畳間だろうと，畳を繰り返し並べていけば敷き詰められます．

しかしイギリスの物理学者ロジャー・ペンローズ（Roger Penrose）は，ひし形2種類を使って，繰り返しが現れないパターンを見つけました．

ペンローズのタイル（Wikipedia）

この図が「ペンローズのタイル」と呼ばれる敷き詰めパターンです．どこにも隙間がなく，なおかつ，どこにも繰り返しがないのです．繰り返しがないというのは，ペンローズのタイルのいち部を切り取って平行移動させても，ぴったりと重なる模様がないということです．このような敷き詰めは「非周期タイリング」と言って，いくつも知られています．

ペンローズは17世紀の天文学者のヨハネス・ケプラーの仕事から着想を得たとしていますが，ルネサンス期の画家アルブレヒト・デューラーの作品にすでにヒントが現れていたようです．

ギリー・タイル（Wikipedia）

そしてまた，イスラム建築の「ギリー・タイル」（写真）もまた，非周期タイリングになっていることが現在では知られています．

幾何学的な対称性がよく使われるヨーロッパの建築と「ルールが無いのがルール」と言われるような日本の禅の美意識の間に，幾何学的だけれども周期がないというイスラム美術が位置するのかもしれませんね．

永野裕之：とてつもない数学

数学は◆奇人変人だらけの天才数学者たちが織りなす壮大な思考の歴史◆たった数行の数式で世界や宇宙の物理法則を記述する◆絵画，彫刻などの美術や音楽などの芸術，あるいは自然の美しさの背景には，数学理論に裏づけられた法則がひそんでいる◆インターネット，統計，AIなど，現代社会，テクノロジーを下支えしているというように，学問としての奥行き，美術や音楽を語れる芸術性，実学としての有用性が揃ったとてつもない学問である．本書は，「とてつもない」という切り口から数学の魅力を伝える．文系でも理解できるわかりやすさと読み物としての面白さを兼ね備えた数学エッセイ．（略）

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本書第3章に，タイル敷き詰め問題が紹介されています．他にもおもしろい話題が目白押しですので，今後のSTEAM NEWSのネタ本として使わせていただきます．