【創刊号】数学と芸術のあいだ

無量大数よりも大きな数に名前をつける試みが「アート」を生み出した
金谷一朗(いち)
2020.12.25
読者限定

新型コロナウイルスが世界で猛威を奮った2020年,ある天才数学者がその感染症で命を落としました.彼の名はジョン・コンウェイ.数学とアートの世界にとてつもない足跡を残した巨人です.今週は彼の偉大な発明をふたつ,紹介したいと思います.

いち,に,たくさん

ブラジル・アマゾナス州のピダハン族は数字を2までしか数えず,それ以上は「たくさん」と呼んでいるという説がありました.「いち,に,たくさん」説ですね.この説の根拠となった調査は,その後の追跡調査によってより驚くべき事実に置き換えられました.ピダハン族は数を表すのに「少し(1〜4)」「もっと(5〜6)」「たくさん」という語彙を使っていたのです.この研究を主導したマサチューセッツ工科大学(MIT)のギブソン教授らは「従来考えられていたのとは逆に『数える』ということは人類が発明したものかもしれない」と論文を結んでいます.(参考文献1)

なお数を表す言葉がないことと,数を数える能力や習慣が無いことは別です.例えば我々は意図的に数えることを打ち切ります.長崎県の九十九島(くじゅうくしま)には実際には208の島があります.しかし「非常に多い」という意味で「99」という数字が使われています.99は極端な例でしょうが「非常に多い」「非常に大きい」を意味する場合に具体的な数字を挙げることはよく行われています.例えば「あなたと付き合う可能性は1万パーセント無い」とかですね.1万パーセントならまだいいのですが,僕はむかし「理論的にありえません」と言われたことがあります.技術屋が一番凹む言い方です.

グーゴル

さて,皆さんが想像する大きな数はどのぐらいでしょう?1万個の蜜柑というと,膨大な量に思えます.1万円というとそうでもないかもしれませんが,1万米ドル(100万円程度)というと結構な金額です.僕は1億トルコリラを100万リラ札100枚で支払ったことがありますが,金銭感覚がおかしくなりそうでした.

昔から人々は,大きな数を言葉にしようとしてきました.漢字文化圏では「無量大数」が有名ですね.無量大数が具体的にどのような大きさなのかは時代によって変わってしまうのですが,現代では1の後に0が68個つく数とされています.つまり

 1(無量大数)=100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

ですね.これを数学者は「10↑68」と書きます.「↑」はそのまんま「上矢印」と読みます.また紀元前3世紀の数学者アルキメデスは,宇宙を砂粒で埋め尽くしたとしたら,その砂粒は何個必要になるかを計算しています.その結果は偶然にもほぼ無量大数と同数でした.(参考文献2)

無量大数はもちろん常用を意図したものではありません.日本語で意識するのは1兆(10↑12)から1京(10↑16)ぐらいまででしょうか.英語圏で常用するのはビリオン(10↑9)かトリリオン(10↑12)ぐらいかと思います.

上矢印の後ろに大きな数字を書くと,いくらでも大きな数字を思いつけそうです.実際に「10↑100」という途方も無い大きさの数字には名前がつけられています.世界を支配するグーグルの語源にもなったその名前は「グーゴル」と言います.エンジニアが使う関数電卓で扱える数の上限がだいたい1グーゴル程度です.

コンウェイの書き方

John Conway, by Thane Plambeck, CC BY 2.0
John Conway, by Thane Plambeck, CC BY 2.0

人間の想像力はさらにその先へと行きます.例えば,1の後に0が1グーゴル個並んだ数はどう書けばよいでしょうか.その数は「グーゴルプレックス」と呼びます.

グーゴルプレックスを記号で書くには「10↑(10↑100)」と書かなければなりません.数学者はしばしば括弧を省略して「10↑10↑100」と書きます.また真ん中の「10」を省略して「10↑↑100」と書いてしまうこともあります.しかし,これでも数学者にしてみれば耐え難いほど醜い書き方です.同じことを繰り返すことほど,嫌われることはありません.それは美しくないのです.もっと大きな数,例えば「10↑10↑10↑100」あるいは同じ意味の「10↑↑↑100」は上矢印が繰り返し現れます.美しくないのです.

数学者ジョン・コンウェイはある美しい書き方を発明しました.上矢印を横に寝かせたのです.そして,上矢印の本数を,追加の右矢印に添えて書くことにしました.「10↑ ↑ ↑100」は「10→100→3」となったのです.コンウェイは右矢印で繋がれた一連の数字を「チェーン」と呼びました.

そして,コンウェイは永遠の終止符を打ったのです.あらゆる大きな数を表すのに,チェーンは十分強力なのです.チェーンはただの表記法ではなく,プログラムなのです.コンウェイはチェーンを伸び縮みさせる一連の法則を考え出しました.この法則をチェーンに当てはめると,どんなチェーンでも最終的に一つの数字を導き出せます.1グーゴルプレックスつまり「10→100→2」は決められた手順に従って「10→(10→99→2)→1」に「伸びて」から最終的に「1000…(省略)...000」という数字に「縮み」ます.大抵の場合,チェーン表記をほぐして数字にすると,その数字は信じられないぐらい大きなものになれます.

この発明は,コンウェイのもう一つの偉大な発明へと繋がります.

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