円周率をめぐる物語〈歴史編〉【第48号】

古代バビロニアの円周率から新しい円周率タウ(τ)まで
金谷一朗(いち) 2021.11.05
誰でも

【140字まとめ】今週のSTEAM NEWSでは,円周率(π)をめぐる無限に続く物語のひとつをお話します.古代バビロニア人は縄を使って円周率をかなり正確に求めました.一方,古代エジプト人は上手に作図することで,同じ目的を達しました.そんな彼ら彼女らの物語をお楽しみください.

いちです,おはようございます.

本ニュースレターは「STEAMボート」乗組員(STEAM NEWS有料購読者様)のご支援でお届けしております.乗組員の皆様に感謝申し上げます.

今週は「円周率」をめぐる物語をお伝えします.円周率はこのニュースレターでずっと取り上げたかったテーマで,なおかつ何度も取り上げたいテーマでもあるので,この号は〈歴史編〉と名づけて,主に円周率にまつわる歴史上のあれこれをお伝えしようと思います.いずれ〈デザイン編〉とか〈インドの魔術師編〉とか〈日本人の死闘編〉なんかもお届けできればと思っていますので,よろしければリクエストや質問をツイッターマシュマロ(匿名質問箱)でお送りください.

さて,本題です.

ジョディ・フォスター主演映画「コンタクト」の原作小説は,主人公エリー・アロウェイが少女時代に「円周率」への興味を覚えるシーンから始まります.円周率は数学では「π(パイ)」と書きますね.映画の方には出てきませんでしたが,小説の方には

という驚くべき式が紹介されています.これは「グレゴリー・ライプニッツの公式」という式で,分数の足し算と引き算を無限に繰り返すと,円周率πの1/4に近づくというものです.グレゴリー・ライプニッツの公式というのは,17世紀スコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーと,同じく17世紀ドイツの哲学者・数学者ゴットフリート・ライプニッツの名前をとったものです.

このグレゴリーは数学の他に「グレゴリー式望遠鏡」の開発も行っています.グレゴリー式望遠鏡をアイザック・ニュートンが改良した「ニュートン式望遠鏡」は現代でもよく使われているデザインです.

もう一方のライプニッツは数学における「微積分学」をニュートンとは独立に発明した人物です.発明後「どちらが先に微積分学を発明したか」で,ライプニッツはニュートンから熾烈な法廷闘争に巻き込まれています.人類史上最高の科学者とも呼ばれるニュートンですが,わりと子供っぽいところもあるのですね.

ともかく,グレゴリーもライプニッツも偉大な天文学者,数学者であったことがお判りいただけたと思います.このように,円と最も深い関係にある数「円周率」は天文学者や数学者の心を捉えて離さないのです.

なお,グレゴリー・ライプニッツの公式に関しては,実際には15世紀のインドの数学者・天文学者「サンガマグラーマのマーダヴァ」が先に発見していたことがわかっています.

円周率は,円周をその円の直径で割ったものです.たったそれだけなのですが,どこか人類の叡智に挑戦するようなところがあるのでしょう.それに「パイ」というネーミングも,日本人ヘテロ男性には刺さるのかもしれません.僕は「πr事情」という美術展に心躍ったあの日が忘れられません.

土器と縄

円は左右にも上下にも対称な形をしています.それどころか,斜め方向に折りたたんでさえ,ぴったり半分にすることができます.古代の人たちには,とてつもなく神秘的な形に見えたことでしょう.

(<a href="https://www.instagram.com/p/CE08TESj0b-/?utm_source=ig_web_copy_link">筆者撮影</a>)
筆者撮影

人間が円陣を組むと全員が円の中心から等距離に立つことになります.これは参加者全員が同じ感情を共有するのに適した陣形です.他に,例えばきのこが輪になって生えてくる「フェアリーリング」は自然に出来上がるちょっと不思議な円ですね.僕の家の近所では,雨上がりの日によくフェアリーリングが出現します.神秘的で美しいのですが,生えてくるのが猛毒のきのこなので,見つけるたびに公園の管理事務所に立ち寄っています.

古代の人々はまた,土器を焼くのに,円形を活用しました.少ない土で多くの穀物を入れることができ,煮炊きするにも効率が良く,そして何より美しいからでしょう.古代の文明人たちは土器に加えて,縄を作る技術も持っていました(*).ということは,土器に縄を巻きつけてみたりもしたでしょう.そうこうするうちに,円の周囲の長さ(円周)と直径の比率が,円の大きさによらず一定であることに気づき始めます.その比率は「3よりも少し大きい」値だったことに,やはり気づいたでしょう.

(*土器も縄も,その起源はよくわかっていないのですが,両者ともおそらく1万年前から3万年前の間に発明されたものと考えられています.日本に残る最も古い記録は偶然にも両者が結びついた縄文式土器で,土器と縄の歴史が1万6,000年前まで遡る可能性を示しています.)

古代人はおそらく,ある物を縛るにはどのぐらいの長さの紐が必要か,いろいろ試しては覚えていったのではないでしょうか.僕の特技のひとつに,自分自身を「亀甲縛り」にする技術があるのですが,亀甲縛りをするためにはだいたい身長の5倍の長さの紐が必要だということを経験的に知っています.しかし,全く役に立たない特技なんですよね.あ,一度だけ,ウィーンで「鞄だけ」盗まれた時に,服やら書類やらをまとめて亀甲縛りにして日本に持ち帰ったことがありました.

古代バビロニアの円周率

僕は大学1年生の授業でよく,常識を疑う練習のためと,コンピュータで使う数学への準備体操として,10進数(10進法)を一旦忘れてみようという話をします.そして「僕たちのようにアジア文化圏にいると10進数はもう自然の摂理というぐらい当たり前に感じてしまうけれど,アラブ世界やヨーロッパ世界が10進数を使い始めたのは『わりと最近』だよ」という話をします.僕が「わりと最近」というのは,ここ400年ぐらいのことです.400年て,100歳のお婆ちゃん4人ぶんなので,そんなに昔のことじゃないんですよね.

数学を,というより文明そのものを発明したと言える古代バビロニア人たちは,おそらく人類で最初に円周率を数字で書こうとした人々です.彼ら彼女らは10進数ではなく60進数を使っていたので,円周率も60進数で書き表しました.

60進数ということは,例えば「10」と書いてあったら我々の60を意味し,「100」と書いてあったら我々の3,600を意味するということです.逆に「0.1」は1/60で,「0.01」は1/3,600の意味です.現代人から見たら「面倒臭いなあ」と思いますが,古代バビロニア人から見たら10進数のほうが「面倒臭い」のです.きっと古代バビロニア人は現代人にこう言うでしょう.「え?この玉子パックは10個入りなの?3人で分けられないじゃないか!ちっ,話の通じない野蛮国に来てしまったぜ」と.

さて,古代バビロニア人たちは,円周率の値として

3 + 7/60 + 30/3600

という数値を使っていたようです.現代的に書くと

3 + 1/8

あるいは

3.125

という値になります.正確ではありませんが,それでも正しい円周率の99.5パーセントの値です.古代バビロニアには現代のような精密な定規はありませんでしたから,ほぼ正解にたどり着いていたとしても良いでしょう.

古代バビロニア人は円と紐を使って円周率を3+1/8と求めたようだ(筆者作成)
古代バビロニア人は円と紐を使って円周率を3+1/8と求めたようだ(筆者作成)

状況証拠から言えば,古代バビロニア人たちは円と紐を使って円周率を求めていたようです.地面に1本の杭を立て,そこから紐を使って円を描きます.次に,その円の上に沿って,先程の紐を乗せてみます.3回乗せたところで「あと少し」が残ります.紐を3回続けて半分にたたむと1/8の長さになりますが,これがほぼ「あと少し」の円周にはまります.

きっとこのようにして,古代バビロニア人たちは円周率を求めたのでしょうね.

古代エジプトと江戸時代の円周率

次は古代エジプトに目を向けてみます.古代バビロニア人たちが「小数」を使いこなしていたのに対して,古代エジプト人たちは「分数」にこだわっていました.

古代エジプトの都市テーベ(現在のルクソール)から「リンド数学パピルス」というパピルスが見つかっています.スコットランドの弁護士アレグザンダー・ヘンリー・ラインド(リンド)が1858年にルクソールでたまたま購入したパピルスには,書記官「アーメス」によって84の数学の問題が書かれていました.そんな中に,円周率に関する記述もあったのです.

アーメスは「直径が9の長さを持つ円の面積は,一辺が8の長さをもつ正方形の面積に等しい」と書きました.これを現代的に書き直すと,円周率を

と求めることになります.この値は3.16...で,正しい円周率よりも0.602パーセント大きな数値です.整数をうまく使った表現で,これはこれで美しいように思います.

古代エジプト人は円(灰色)と図の八角形の面積が等しいと考えた(筆者作成)
古代エジプト人は円(灰色)と図の八角形の面積が等しいと考えた(筆者作成)

アーメスが記したパピルスには,直径9の円と,一辺が9の正方形にすっぽり収まる八角形の面積が等しいという記述がありました.この八角形の面積(63)は,一辺が8の正方形の面積(64)とだいたい等しいので,円周率の計算に用いたのでしょう.

皆さんも是非とも上の図の八角形の面積を計算してみてください.古代エジプト人て頭いいなあと感心されることでしょう.

実は日本の江戸時代でも,大工さんたちは円周率を3.16として計算していたようなのです.リンドがパピルスを買い求めていた1858年と言えば,日本は「安政の大獄」の年ですから,江戸時代の大工さんたちがパピルスから円周率を知ったということは無いでしょう.となると,偶然同じ方法で円周率にたどり着いたのかもしれません.

古代中国と古代ギリシアの円周率

古代中国には「九章算術」という数学書がありました.筆者も制作年代も不明なのですが,紀元前1世紀から紀元後2世紀には成立したと考えられています.時代で言うと春秋戦国時代ですね.

円の内側と外側に多角形を書く例.アルキメデスは真ん中の正六角形から始めた
円の内側と外側に多角形を書く例.アルキメデスは真ん中の正六角形から始めた

この九章算術では「実用的な円周率」として3が使われています.しかし,紀元263年に九章算術の注釈本を書いた劉徽(りゅうき)は円周率を非常に正確に求めました.彼は円の内側と外側に正192角形を描き,円周率は3.141024...よりも大きく3.142074...よりも小さいということを突き止めました.彼はこの結果から,実用的な円周率として3.14を使うことを推奨しました.

劉徽(りゅうき)の方法は,これもおそらくは偶然なのですが,古代ギリシアのアルキメデスが行った方法と同じでした.アルキメデスは円の内部と外部に正六角形を描き,円周率のあるべき範囲を求めました.次に正六角形を正12角形にし,その次に正48角形にし…と続け,アルキメデスは正96角形まで試しました.彼は円周率が3+1/7つまり3.14084...よりも大きく3+10/71つまり3.14286...よりも小さいとしました.この結果を踏まえて,古代ギリシア人たちは円周率を

3 + 8/60 + 30/3600

としていました.この値は3.14167...となるのですが,正しい円周率よりも0.00236パーセントだけ大きな値です.もう殆ど円周率ですね.

円周率は4? インディアナ州円周率法案

1897年,インディアナ州の医師エドワード・J・グッドウィンは「円積問題」を解いたと主張しました.円積問題とは「与えられた長さの半径を持つ円に対し,定規とコンパスによる有限回の操作でそれと面積の等しい正方形を作図することができるか」という問題です.簡単に言うと,円の面積をそのままに正方形に変形するにはどうしたら良いかという問いです.

例えば,古代エジプトの円周率はこの円積問題を大雑把に解くことで得られたものでした.

ジェームズ・グレゴリーは円積問題が解けないことを証明しようとしましたが,その証明は間違っていました.しかし1882年には,ドイツの数学者フェルディナント・フォン・リンデマンによって,円積問題が厳密には解けないことが証明されました.

にもかかわらず,グッドウィンは「解ける」と主張したのです.それどころか,彼は州議会議員を通して,インディアナ州議会に「新しい数学の真理の提示,および同件を1897年法令により公的に承認された場合インディアナ州に限って教育に無償で提供する法令案」 を提出します.この法案は州の下院で満場一致で可決されました.

このあと,たまたま州都インディアナポリスを訪れていた数学者クラレンス・A・ウォルドがこの法案を聞きつけ,州の上院を説得しました.その結果,上院は本法案の採択を無期限延期することに決定しました.

この法案は,間接的に円周率が「4」であることを主張するものでした.この主張は,ギネス世界記録によって「最も不正確な円周率 (Most inaccurate version of pi)」と記録されているという説があるのですが,残念ながらギネスにその記録を見つけられませんでした.

一時期,日本でも小学校で「円周率は3」と教えられるのではないかという懸念が広がったことがありました.これは誤解だったのですが,ネットでは「これがゆとり教育か」と散々叩かれていたようです.僕はツイッターで「円周率を3にするぐらいなら4と教えるべき」と主張したのですが,だいぶ「炎上」しました.いやあ,手巻き寿司を考えてみて下さいよ.円周率が3だったら海苔の長さが足りないのです.一方,円周率を4としておけば,海苔で十分シャリを巻けるのですから,工学的には正解だと思いませんか.当時のツイッターでは「あなたはそれでも教育者ですか」と叩かれました.

と,心温まるエピソードをご紹介したところで,最後に「パイ」の由来についてお話をさせていただいて,この号を締めくくります.

パイの由来

このニュースレターのはじめに,円周率を数学では「π(パイ)」と書くと主張しました.もちろん間違いではないのですが,昔から円周率がπと書かれてきたわけではないのです.円周率をπと書くようになったのは,18世紀スイス出身の数学者レオンハルト・オイラーが自身の著書で使ったからなんだそうです.

パイの語源なのですが,以下のギリシア語の頭文字ではないかと言われています.

  • περιφέρεια (ペリフェレイア,周囲・周辺,英語のperipheral)

  • περίμετρος (ペリメトロス,周長,英語のperimeter)

ところで,工学や物理学では円周率πの2倍,つまり2πが頻繁に登場します.この2πのことを「τ(タウ)」と書くべきだと,カリフォルニア工科大学のマイケル・ハートル教授は主張しています.τを用いると,半径がrの円周は

(円周) = τr

とπを使うよりも簡単に書けるようになります.また円の面積は

(面積) = τr²/2

となり,物理学でよく見かける運動エネルギーの式 mv ²/2 と形が同じになります.さらには

sin(0) = 0, sin(τ/4) = 1, sin(τ/2) = 0, sin(3τ/4) = -1, sin(τ)= 0

となって,工学的には便利なのです.

とは言え,このτは「全く」普及していません.大学の入試問題でしたら,解答の冒頭で「τ=2πとする」と書いて使っても良いのですが,τはただでさえアルファベットのtと紛らわしいので,避けておくのが無難ではないかと思います.

おすすめ書籍

オイラーの公式にも登場!πはなぜ,重要な定数なのか?桁数の追求だけが,πの魅力じゃない!「円の直径に対する円周の長さの比」かんたんな定義にもかかわらず,有理数であるか無理数であるかさえ,長く判別できなかった謎多き数=π.その精密な値を探求する過程で,数学者たちは無限への理解を深め,微分・積分などの重要な数学的手法を発展させてきた.アルキメデスやオイラーから,独自の成果を生み出した中国の数学者たちまで,数千年にわたって人類の関心を惹きつづけるπの魅力に迫る.
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円周率の解説書かと思ったら,話は古代エジプトからルネサンス期のイタリアへと縦横無尽に飛んでいきます.著者のとんでもない知識量にただただ圧倒されます.第2章からは代数学を使った円周率の探求,第3章からは微積分(解析学)を使った円周率の探求へと進み,第4章では数学者オイラーの仕事を追いかけます.そしてクライマックスを迎える第5章では,近代のコンピュータによる円周率の計算競争が紹介されます.

かなりマニアックな内容ですが,スリリングで面白い本でした.

電子書籍版もありますが,固定レイアウトなのでiPadのようなタブレットでないと読むのが辛いです.

おすすめTEDEdトーク

TED
TED
直径に対する円周の割合は常に一定です.3.14159...から始まり,文字通り永遠に続くのです.この無理数である円周率は無限の桁数を持つため,どんなに近づいたと思っても決して正しい答えにたどり着くことはありません.レイナルド・ロープスは,音楽,金融モデル,宇宙の密度の計算に至るまで,円周率の幅広い利用方法を説明します. 講師:レイナルド・ロープス.アニメーション: Igor Coric
TED

円周率(π)に関する短いTEDEd(TED教材)ビデオです.円周率に関して「大きな絵」を掴むのに良さそうな動画でしたので,ご紹介させていただきました.

Q&A

匿名質問サイト「マシュマロ」および質問サイト「Quora」で質問を受け付けています.普段はツイッターでお返事を書いていますが「ニュースレター読んでます」と入れていただければ,こちらのニュースレターでより長めの回答を書かせていただきます.

今週はQuoraのこちらの冗談質問から:

さて,ついに円周率が割り切れる事を証明しましたが今のお気持ちは?
Quora

早速,イギリスのアマチュア数学者ウィリアム・シャンクスさん(1812-1882)に心境を聞いてみました.

「何桁目で割り切れたのですか?私は生涯をかけて707桁目まで手計算したのですが,割り切れる様子はありませんでした.」

なお彼の計算は528桁目から間違っていました.

このレターの最後に匿名質問サイトへのリンクを貼っています.質問お待ちしております.

今週もいろいろありました.先週の金曜日は壱岐の島へ出張だったのですが,結局飛行機に乗る直前まで,スマホからニュースレターの誤字脱字の訂正をしていました.ここらへんは校正ツールを使って修正しておきたいところでした.今週から「ATOKクラウドチェッカー」という校正ツールを試していますので,使用感をまた「一伍一什のはなし」でお伝えしますね.こういうツールが使えるのもSTEAMボート乗組員によるご寄付のお陰です.本当にありがとうございます.

また週末には久しぶりにYouTube動画とポッドキャストの収録をしました.こちらは秋と春に二度花を咲かせるTEIKO桜の前で撮影しました.

今週に入ってから「軍艦島のデジタルアーカイブに行くので手伝ってください」と教え子から突然のメッセージがあり,慌てて調査キットを引っ張り出して軍艦島へ行ってきました.

軍艦島の小学校(立ち入り制限区域,<a href="https://www.instagram.com/p/CV1Hw4ABT2a/?utm_source=ig_web_copy_link">筆者撮影</a>)
軍艦島の小学校(立ち入り制限区域,筆者撮影

軍艦島の小学校やマンションは,廃墟の王様にふさわしい建物でした.いや,本当にいつ倒壊してもおかしくない状況でした.

なんかこう,人が生活した跡というのを見ると,わくわくしますね.

ただ,形だけをアーカイブしても,形だけになってしまうのは悩ましいところです.どうしたら,そこで生活していた人たちやそれを設計した人たちの気持ちを残せるのか,研究は続きます.

今週も最後までお読みいただきありがとうございます.メールでお読み頂いた皆様は,よろしければボタンを押して行ってくださいませ.(ボタンは匿名化されています.集計したデータはこのニュースレターの内容改善以外には用いません.)

ここに配置されたボタンは、ニュースレター上でのみ押すことができます。

では,また来週,お目にかかりましょう.

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ニュースレター「STEAM NEWS by Ichi」

金谷一朗(いち)

TEDxSaikaiファウンダー・パイナップルコンピュータ代表・長崎大学情報データ科学部教授

Photo by Matheo JBT on Unsplash

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